Modèle de Hull-White (2025) : Une Approche Numérique Robuste

1. Contexte et Formulation Théorique : L'Implication de Feynman-Kac

L'évaluation des produits dérivés de taux d'intérêt, tels que les obligations zéro-coupon, requiert un modèle stochastique qui capture l'évolution du taux d'intérêt au fil du temps. Le Modèle de Hull-White, choisi pour cette implémentation, est un modèle de taux d'intérêt à court terme (SDE) qui permet, de manière cruciale, de garantir l'absence d'arbitrage en calibrant sa dérive, $ \theta(t) $, sur la courbe des taux actuelle observée sur le marché.

En utilisant la puissante relation fournie par le théorème de **Feynman-Kac**, nous pouvons transformer la problématique stochastique en une résolution déterministe par Équation aux Dérivées Partielles (EDP). L'obligation zéro-coupon $ P(t, T) $ satisfait alors l'EDP suivante :

Cette approche par EDP est privilégiée dans ce Lab Report pour sa **flexibilité** et sa capacité à intégrer des conditions aux limites complexes, un prérequis pour le pricing de produits dérivés exotiques de taux plus sophistiqués.

2. Le Choix de la Méthodologie Numérique : FDM Implicite

Une fois l'EDP établie, le défi passe de la théorie à l'implémentation numérique. Pour résoudre efficacement l'EDP, il est impératif de choisir une méthode qui assure à la fois la **stabilité** et la **précision** de la solution au fil du temps. C'est pourquoi nous avons opté pour le schéma aux **Différences Finies Implicites (Backward FDM)**.

Cette méthode transforme le problème de l'EDP continue en un système linéaire discret à chaque pas de temps, de la forme $ A \mathbf{P}_{i+1} = \mathbf{b}_i $. Les étapes clés de l'implémentation incluent :

• Discrétisation : Utilisation d'une grille spatiale et temporelle fine pour modéliser le domaine, avec une attention particulière à la gestion rigoureuse des conditions aux limites (Neumann/Dirichlet).
• Calibration : Mise en œuvre de la méthode pour dériver le paramètre de dérive, $ \theta(t) $, de la courbe initiale observée sur le marché.
• Stabilité : Le choix de l'approche implicite (Backward FDM) est fondamental. Elle est préférée à la méthode explicite car elle offre une **robustesse inconditionnelle** face aux paramètres, assurant la convergence même en présence de forte volatilité.

3. Validation du Modèle et Résultats d'Analyse

La validation du modèle numérique est effectuée en comparant la solution obtenue par Différences Finies avec la solution analytique connue du modèle de Hull-White. L'implémentation a permis de générer la surface de prix de l'obligation zéro-coupon et d'analyser l'impact de la volatilité et de la réversion moyenne sur le taux. Le graphique ci-dessous illustre la convergence du prix du zéro-coupon vers sa valeur de référence :

Les résultats ont montré que l'écart maximal absolu (EMA) entre la solution numérique et la solution analytique est maintenu sous la barre critique de 0.01%, ce qui confirme la **validité et la précision** du schéma FDM choisi pour le pricing d'actifs. Ce niveau de précision est indispensable pour toute application de trading ou de gestion du risque.